Как убрать маржу и найти истинную вероятность
Коэффициент букмекера — это не вероятность, а вероятность плюс маржа. Убрать эту маржу — разница между измерением преимущества и его выдумыванием.
Коэффициент 2.00 не означает, что букмекер оценивает исход в 50%. Он означает, что букмекер считает его несколько менее вероятным, и эта разница — то, как он зарабатывает.
Если вы сравниваете свою модель с сырыми коэффициентами, вы сравниваете её с вероятностями, которые намеренно завышены. Любое измеренное вами преимущество окажется меньше, чем выглядит, — а на низких коэффициентах преимущество, которого нет, будет выглядеть как существующее.
Арифметика
Переведите десятичный коэффициент в подразумеваемую вероятность, взяв обратную величину:
подразумеваемая вероятность = 1 / коэффициент
Возьмём двусторонний рынок с котировками 1.91 / 1.91:
1 / 1.91 = 0.5236 → 52.36%
1 / 1.91 = 0.5236 → 52.36%
------
104.72%
Эти вероятности в сумме дают больше 100%. Иначе и быть не может — излишек и есть маржа букмекера, здесь она равна 4.72%. Этот излишек называют overround или маржа.
Как её убрать
Стандартный метод — пропорциональная нормализация: разделить каждую сторону на сумму.
честная вероятность = подразумеваемая / (подразумеваемая_a + подразумеваемая_b)
Для рынка выше:
0.5236 / 1.0472 = 0.5000 → 50.0%
Что возвращает честный коэффициент:
честный коэффициент = 1 / 0.5000 = 2.00
Менее симметричный пример. Больше 2.5 по 1.75, меньше по 2.10:
| коэффициент | подразумеваемая | честная | |
|---|---|---|---|
| Больше 2.5 | 1.75 | 57.14% | 55.28% |
| Меньше 2.5 | 2.10 | 47.62% | 44.72% |
| Итого | 104.76% | 100.00% |
Истинная оценка рынка для «больше» — 55.28%, а не 57.14%. Если ваша модель говорит 56%, преимущества против сырого числа у вас нет — у вас преимущество в 0.7 пункта против честного, что находится внутри шума.
Нужны обе стороны. Обходного пути нет.
Именно этот шаг обычно пропускают. Маржа наблюдаема только как величина, на которую сумма двух подразумеваемых вероятностей превышает 1. По одному коэффициенту невозможно узнать, какая его часть — маржа.
Предположить типичную маржу и вычесть её хуже, чем не убирать маржу вовсе: вы заменили ошибку, направление которой знали, ошибкой, величины которой не знаете.
Что предполагает пропорциональная нормализация
Что букмекер распределяет маржу поровну между обеими сторонами. На рынке с двумя примерно равными исходами это честное приближение, и именно им пользуется большая часть отрасли.
Оно менее надёжно, когда стороны сильно расходятся. Конторы склонны нагружать большей маржой аутсайдеров — favourite-longshot bias, — поэтому пропорциональное удаление маржи слегка занижает честный коэффициент на явных фаворитах и завышает на аутсайдерах. Существуют альтернативы (метод Шина, степенная нормализация, аддитивная), и расходятся они сильнее всего именно там, где этот метод слабее всего.
Для тотальных рынков с коэффициентами примерно от 1.5 до 2.5 выбор метода меняет ответ на доли процентного пункта. Для фаворита по 1.05 он имеет огромное значение.
Почему это меняет то, что вы измеряете
Удаление маржи — не уточнение. Пропустите его, и сломаются две конкретные вещи.
Ваше преимущество завышено. Против сырых коэффициентов каждый рынок выглядит как сумма в 104%, поэтому модель, в точности совпадающая с букмекером, кажется имеющей 4% преимущества, распределённые по двум сторонам. Поставьте на это — и вы платите маржу дважды.
Ваш CLV читается заниженным. Маржа букмекера сужается по мере приближения к матчу. Измерено на 566 парах цен Pinnacle по нашей собственной книге: она упала примерно с 5.05% за 48 часов до 3.78% в последний час. Закрытие поэтому выглядит щедрее с обеих сторон, и каждое сырое показание CLV занижается примерно на 1.2 пункта.
Признак того, что это артефакт: подсчёт обеих сторон каждого рынка дал средний сырой CLV −1.46%. Больше и меньше не могут одновременно двигаться против вас. После удаления маржи те же пары дали в среднем −0.27% с медианой ровно ноль — чего и следует ожидать от несмещённого сравнения.
Где мы это применяем
Каждый расчёт ожидаемой ценности в продукте сравнивает вероятность модели с рыночной вероятностью после удаления маржи, а не с сырым коэффициентом. CLV очищается от маржи с обоих концов везде, где у нас есть обе стороны в оба момента времени.
Там, где противоположной цены у нас нет, строка публикуется как сырая и помечается соответствующим образом в истории результатов, а не подмешивается в среднее. Такие показания идут примерно на пункт ниже, а смешение двух разных измерений под одним заголовком — это и есть то, как история результатов перестаёт что-либо значить.